MATEMATIKA WAJIB

 

Pengertian Eksponen

Eksponen adalah bentuk perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri secara berulang-ulang. Adapun bentuk umum eksponen atau rumus eksponen adalah sebagai berikut.

a^b, dengan syarat a ≠ 1 dan b ϵ R 

Dari penulisan bentuk di atas, a disebut sebagai basis atau bilangan pokok dasar, sedangkan b disebut sebagai pangkat atau eksponen. Jika b termasuk bilangan bulat positif, maka a^b bisa dinyatakan seperti berikut.

Sifat-Sifat Eksponen

Operasi bentuk perpangkatan atau eksponen tentu berbeda dengan bilangan biasa. Namun, kamu tak perlu khawatir karena operasi itu mengacu pada sifat-sifat eksponen berikut ini.

Sifat penjumlahan pangkat

Sifat penjumlahan pangkat hanya berlaku jika kamu mengalikan dua eksponen atau lebih dengan basis yang sama. Lantas, bagaimana jika basisnya tidak sama? Tentu tidak berlaku sifat ini, ya. Perhatikan contoh berikut.

Sifat pengurangan pangkat

Sifat pengurangan pangkat hanya berlaku jika kamu melakukan pembagian antara dua eksponen atau lebih dengan basis yang sama. Sama seperti sifat penjumlahan pangkat, sifat ini hanya berlaku untuk basis yang sama. Perhatikan contoh berikut.

Sifat perkalian pangkat

Sifat perkalian pangkat berlaku jika suatu eksponen dipangkatkan lagi. Perhatikan contoh berikut.

Sifat pembagian pangkat

Sifat pembagian pangkat berlaku jika suatu eksponen berada di dalam bentuk akar atau kamu bisa menyebutnya bentuk akar eksponen. Apakah kamu masih ingat penulisan bentuk akar menjadi eksponen? Perhatikan contoh berikut.

Sifat pangkat nol

Jika kamu menjumpai bilangan yang dipangkatkan nol, kamu bisa langsung menuliskannya sebagai 1. Mengapa demikian? Karena bilangan yang dipangkatkan nol, berapapun basisnya akan sama dengan satu (a ≠ 0). Perhatikan contoh berikut.

Jadi, kamu tidak perlu repot-repot menghitungnya ya.

Sifat pangkat satu

Jika suatu bilangan dipangkatkan satu hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri. Agar tidak salah, kamu harus jeli membedakannya dengan sifat pangkat nol. Perhatikan contoh berikut.

Sifat pangkat negatif

Sifat pangkat negatif artinya satu per perkalian berulang suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Sifat ini kebalikan dari perpangkatan positif. Perhatikan contoh berikut. 

Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa perpangkatan negatif akan menghasilkan suatu pecahan.

Fungsi Eksponen

Salah satu penerapan bilangan berpangkat di dalam Matematika adalah digunakan pada fungsi eksponen. Di artikel sebelumnya, Quipper Blog sudah pernah membahas tentang persamaan eksponen. Saat kamu belajar persamaan eksponen, pasti akan bertemu fungsi eksponen di dalamnya. Lalu, apa itu fungsi eksponen? Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang memuat variabel di bagian pangkatnya.  Adapun bentuk umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut.

Jika kamu biasa mengenal fungsi bervariabel x, maka persamaan di atas juga bisa diubah dalam variabel x, sehingga menjadi:

Perhatikan contoh berikut.

Suatu fungsi eksponen dinyatakan sebagai f(x) = 2^3x+1. Tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 1.

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kamu harus mensubstitusikan nilai x = 1 pada variabel x di bagian fungsinya.

f(x) = 2^3x+1

↔ f(1) = 2³⁽¹⁾⁺¹

↔f(1) = 2⁴ = 16.

Grafik Fungsi Eksponen

Grafik fungsi eksponen diperoleh melalui plot titik f(x) untuk setiap himpunan nilai x pada koordinat Cartesius. Grafik ini cukup mudah dikenali, yaitu berupa kurva lengkung yang permukaannya mulus. Secara umum, grafik fungsi eksponen dibagi menjadi empat pola berdasarkan Perhatikan contoh berikut.

Buatlah grafik fungsi f(x) = 2^x!

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus menentukan rentang nilai x dan f(x) yang memenuhi dalam bentuk tabel seperti berikut.

x	f(x)
-2
-1
0	1
1	2
2	3

Jika diplot ke dalam koordinat Cartesius, data di atas akan menjadi seperti berikut.

Dari grafik di atas, terlihat bahwa jika fungsi eksponennya berpangkat positif, semakin besar nilai x, semakin besar pula f(x). Hal itu ditandai dengan semakin ke kanan, kurva akan semakin naik. Grafik seperti ini disebut sebagai grafik monoton naik. Lantas, bagaimana jika fungsi eksponennya berpangkat negatif? Yuk, kita buat grafiknya.

Misal kamu ambil f(x) = 2^-x!

Mula-mula, kamu buat tabel seperti contoh sebelumnya.

x	f(x)
-2	4
-1	2
0	1
1
2

Jika diplot dalam bentuk grafik, menjadi seperti berikut.

Dari grafik di atas, semakin besar nilai x, semakin kecil nilai f(x). Hal itu ditandai dengan semakin ke kanan, kurva semakin landai mendekati nol. Itulah mengapa, grafik ini disebut sebagai grafik monoton turun. Adapun persamaan dari kedua grafik adalah keduanya sama-sama memotong sumbu-y di koordinat (0, 1).

Ternyata, bentuk grafik seperti itu berlaku jika basisnya berupa bilangan positif, lho. Lalu, bagaimana jika basisnya negatif? Silahkan kamu coba di rumah, ya.

Contoh Soal Eksponen

Untuk mengasah pemahamanmu tentang materi ini, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Diketahui 4²⁰²⁰ – 3. 4²⁰¹⁹ = a^b.

Berapakah nilai 2a + b?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus menguraikan bentuk perpangkatan di atas.

4²⁰²⁰ – 3. 4²⁰¹⁹ = a^b

↔ 4 × 4²⁰¹⁹ – 3 × 4²⁰¹⁹ = a^b

Selanjutnya, kamu bisa memisalkan 4²⁰¹⁹ sebagai x, sehingga:

4 × 4²⁰¹⁹ – 3 × 4²⁰¹⁹ = a^b

↔4x – 3x = a^b

↔ x = a^b

↔ 4²⁰¹⁹ = a^b

Dengan demikian, a = 4 dan b = 2019.

Jadi, nilai 2a + b = 2(4) + 2019 = 2027.

Contoh Soal 2

Jika f(x) = 3^{2x + 4}, maka berapakah nilai f(-2) + 2f(0)?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari nilai fungsi untuk x = -2 dan x = 0.

f(-2) = 3^{2(-2) + 4}

       = 3^{-4 + 4}

       = 3⁰ = 1

f(0) = 3^{2(0) + 4}

       = 3^{0 + 4}

       = 3⁴ = 81

Jadi, nilai f(-2) + 2f(0) = 1 + 2(81) = 163.

Contoh Soal 3

Bagaimanakah bentuk grafik fungsi f(x) = 5^–x +1?

Pembahasan:

Mula-mula, tentukan interval untuk nilai menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut ini.

x	f(x)	Koordinat
-1	6	(-1,6)
0	2	(0,2)
1	1,2	(1;1,3)

x	f(x)	Koordinat
-1	6	(-1. 6)
0	2	(0, 2)
1	1,2	(1; 1,2)

Lalu, plot koordinat di atas dalam bentuk grafik seperti berikut.

Sampai sini, apakah Quipperian sudah paham?

Itulah pembahasan Quipper Blog tentang eksponen. Semoga bermanfaat, ya. Jika kamu ingin mendapatkan materi lengkapnya, silahkan gabung Quipper Video. Salam Quipper!

Matematika Peminatan Kelas 10

B.logaritma

Quipper Blog

Quipper Championship 2023

Home » Mapel » Matematika »

Matematika

Pengertian Logaritma Bentuk, Sifat dan Contoh Soal – Matematika Kelas 10

November 2, 2020 Sereliciouz

Ditinjau oleh

 sereliciouz,  Pamela Natasa, S.Pd.  

Hai Quipperian, masih semangat belajar, kan? Semoga hari-hari kamu selalu bahagia dan menyenangkan, ya.

Pada artikel ini, Quipper Blog akan membawamu ke dunia logaritma. Jangan khawatir, materi logaritma itu mudah, kok. Logaritma juga dekat banget dengan kehidupanmu sehari-hari. 

Misalnya saja, saat kamu diminta menentukan jarak oktaf nada dalam rentang frekuensi tertentu dan menentukan harga suatu barang berdasarkan tinggi rendahnya permintaan. Tidak hanya itu, logaritma juga bisa digunakan untuk menghitung jumlah produksi vaksin saat muncul wabah penyakit. Daripada penasaran, yuk mulai belajarnya.

Daftar Isi  Sembunyikan 

Pengertian Logaritma

Contoh Soal 1

Sifat-Sifat Logaritma

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Tabel Logaritma

Penerapan Logaritma dalam Kehidupan

Contoh Soal 4

Contoh Soal 5

Contoh Soal 6

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Secara matematis, logaritma dinyatakan sebagai berikut.

Keterangan:

a = basis (0 < a < 1 atau a > 1);

c = numerus (c > 0); dan

b = hasil logaritma.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai logaritma dari 2log 8!

Pembahasan:

Misal 2log 8 = x.

Baca Juga: Bentuk dan Sifat Pertidaksamaan Logaritma serta Contoh Soal

Sifat-Sifat Logaritma

Adapun sifat-sifat logaritma yang harus kamu tahu adalah sebagai berikut.

Catatan tambahan yang harus kamu ketahui adalah sebagai berikut.

Hasil logaritma adalah pangkat dari basis.

Khusus untuk basis 10, biasanya tidak dituliskan. Contohnya 10log x = log x.

Menentukan nilai logaritma tidak selalu kembali pada definisi logaritma.

Berikut ini adalah contoh soal yang berkaitan dengan sifat logaritma.

Contoh Soal 2

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

Contoh Soal 3

Pembahasan:

Berdasarkan sifat-sifat logaritma, diperoleh:

Tabel Logaritma

Seorang ilmuwan bernama John Napier berhasil menyusun suatu tabel yang berisi nilai logaritma basis 10. Tabel itu dikenal sebagai tabel logaritma. Latar belakang penyusunan tabel ini adalah bagaimana cara mengubah bentuk perkalian menjadi penjumlahan, mengingat penjumlahan dirasa lebih mudah daripada perkalian. Adapun contoh tabel logaritma adalah sebagai berikut.

Saat kamu diminta menghitung hasil perkalian antara 1,35 × 2,17 menggunakan tabel logaritma, apakah kamu sudah bisa? Jika belum, ikuti panduannya berikut ini.

Mula-mula, tentukan nilai pada tabel yang berhubungan langsung dengan nilai yang dikalikan.

Nilai yang berhubungan dengan bilangan yang dikalikan ditunjukkan dengan lingkaran warna merah.

1,35 -> 0,1303

2,17 -> 0,3365

Dengan demikian, diperoleh hasil

1,35 × 2,17 = 0,1303 + 0,3365 = 0,4668

Nah, langkah terakhir coba kamu lihat, nilai 0,4668 berada di posisi sel yang mana?

Bilangan yang diberi kotak berwarna merah merupakan nilai logaritma dari 2,93.

Jadi, 1,35 × 2,17 ≈ 2,93.

Mudah bukan?

Penerapan Logaritma dalam Kehidupan

Seperti pembahasan di awal artikel, terdapat beberapa aktivitas yang membutuhkan logaritma di dalamnya. Misalnya penghitungan bunga majemuk, penentuan interval spektrum audio, penentuan harga barang berdasarkan banyak sedikitnya permintaan, pembuatan vaksin saat munculnya suatu wabah penyakit, dan sebagainya.

Agar kamu semakin paham bagaimana logaritma itu bisa diterapkan dalam kehidupan, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 4

Pembahasan:

Diketahui:

f1 = 800 Hz

f2 = 6,4 kHz = 6.400 Hz

Jadi, intervalnya adalah 3 oktaf.

Contoh Soal 5

Hubungan antara harga (h) dalam ribuan rupiah dan permintaan x unit barang tertentu dinyatakan sebagai h(x) = 11.500 – 1.000 log (2x – 8). Jika banyaknya permintaan 504 unit, tentukan harga barang tersebut!

Pembahasan:

Diketahui:

h(x) = 11.500 – 1.000 log (2x – 8)

x = 504

Dengan mensubstitusikan x = 504 pada persamaan tersebut, diperoleh:

Jadi, harga barang tersebut adalah 8.500 rupiah.

Contoh Soal 6

Penyebaran suatu wabah penyakit yang disebabkan oleh virus di suatu daerah dinyatakan dengan fungsi berikut.

Variabel x menyatakan banyaknya hari sejak wabah mulai menyerang. Sedangkan, variabel y menyatakan jumlah orang yang terserang wabah. Vaksin untuk mengobati wabah tersebut sulit dibuat, sehingga banyaknya vaksin (v) yang dapat dihasilkan dalam t hari adalah sebagai berikut.

 

Jika vaksin baru dibuat oleh para ilmuwan pada hari ke-3 sejak wabah mulai menyerang, tentukan banyaknya vaksin saat jumlah orang yang terserang wabah 200 jiwa! (asumsikan bahwa belum ada orang yang sembuh atau meninggal)

Pembahasan:

Berdasarkan soal, diperoleh informasi berikut.

Jumlah orang yang terserang wabah (y) dalam x hari:

Banyaknya vaksin (v) yang dihasilkan dalam t hari:

Mula-mula, tentukan nilai x saat jumlah orang yang terserang wabah 200 jiwa (y = 200).

Oleh karena vaksin baru dibuat oleh para ilmuwan pada hari ke-3 sejaka wabah mulai menyerang, maka saat x = 20, nilai t = 18.

Dengan demikian, banyaknya vaksin yang dihasilkan dalam t = 18 hari adalah sebagai berikut.

Jadi, banyaknya vaksin saat jumlah orang yang terserang 200 jiwa adalah 80 buah.